На доске на­пи­са­но число. Олег иг­ра­ет в ариф­ме­ти­че­скую игру: он может либо сте­реть по­след­нюю цифру на­пи­сан­но­го числа, либо при­ба­вить к на­пи­сан­но­му числу число 2018 и за­пи­сать по­лу­чен­ный ре­зуль­тат, сте­рев преды­ду­щее число. Может ли Олег, дей­ствуя таким об­ра­зом, в конце кон­цов по­лу­чить число 1? Если да, по­ка­жи­те как; если нет, объ­яс­ни­те по­че­му.

Дру­зья Алеша, Боря и Витя учат­ся в одном клас­се. Один из них ездит домой от школы на ав­то­бу­се, дру­гой  — на трам­вае, а тре­тий  — на трол­лей­бу­се. Од­на­ж­ды после уро­ков Алёша пошёл про­во­дить сво­е­го друга до оста­нов­ки ав­то­бу­са. Когда мимо них про­хо­дил трол­лей­бус, тре­тий друг крик­нул из окна: «Боря, ты забыл в школе тет­рад­ку!» Кто на чем ездит домой?

На одном за­во­де ра­бо­та­ют три друга: сле­сарь, то­карь и свар­щик. Их фа­ми­лии: Бо­ри­сов, Ива­нов и Семёнов. У сле­са­ря нет ни бра­тьев, ни сестёр, он самый млад­ший из дру­зей. Семёнов стар­ше то­ка­ря и женат на сест­ре Бо­ри­со­ва. На­зо­ви­те фа­ми­лии сле­са­ря, то­ка­ря и свар­щи­ка.

В бу­тыл­ке, ста­ка­не, кув­ши­не и банке на­хо­дят­ся мо­ло­ко, ли­мо­над, квас и вода, причём вода и мо­ло­ко не в бу­тыл­ке, сосуд с ли­мо­на­дом стоит между кув­ши­ном и со­су­дом с ква­сом, в банке не ли­мо­над и не вода. Ста­кан стоит около банки и со­су­да с мо­ло­ком. В какой сосуд на­ли­та каж­дая из жид­ко­стей?

На даче по­се­ли­лись пя­те­ро маль­чи­ков: Ан­дрю­ша, Боря, Во­ло­дя, Гена и Дима. Все были раз­но­го воз­рас­та: од­но­му был 1 год, дру­го­му  — 2 года, осталь­ным 3, 4 и 5 лет. Во­ло­дя был самым ма­лень­ким, Диме было столь­ко лет, сколь­ко Ан­дрю­ше и Гене вме­сте. Сколь­ко лет Боре? Воз­раст кого еще из маль­чи­ков можно опре­де­лить?

Племя лю­до­едов пой­ма­ло Ро­бин­зо­на Крузо. Вождь ска­зал: «Мы рады бы от­пу­стить тебя, но по на­ше­му за­ко­ну ты дол­жен ска­зать какое-ни­будь утвер­жде­ние. Если оно ока­жет­ся ис­тин­ным, мы съе­дим тебя. Если оно ока­жет­ся лож­ным, тебя съест наш руч­ной лев.» Что ска­зать Ро­бин­зо­ну, чтобы лю­до­еды его от­пу­сти­ли?

В Стра­не Чудес про­во­ди­лось след­ствие по делу об укра­ден­ной муке. На суде Мар­тов­ский Заяц за­явил, что муку украл Бол­ван­щик. В свою оче­редь Бол­ван­щик и Соня дали по­ка­за­ния, ко­то­рые по каким-то при­чи­нам не были за­пи­са­ны. В ходе су­деб­но­го за­се­да­ния вы­яс­ни­лось, что муку украл лишь один из трёх под­су­ди­мых и что толь­ко он дал прав­ди­вые по­ка­за­ния. Кто украл муку?

На суде каж­дый из троих под­су­ди­мых об­ви­нял од­но­го из двух дру­гих. Ока­за­лось, что пер­вый был един­ствен­ным, кто го­во­рил прав­ду. Если бы каж­дый стал об­ви­нять дру­го­го из них (но не себя), то вто­рой был бы един­ствен­ным, кто ска­зал прав­ду. Кто ви­но­вен?

Как, имея лишь два со­су­да ёмко­стью 5 и 7 л, на­лить из крана 6 л воды?

В пер­вый сосуд вхо­дит 9 л, во вто­рой  — 5 л, а в тре­тий  — 3 л. Пер­вый сосуд на­пол­нен водой, а осталь­ные два пусты. Как с по­мо­щью этих со­су­дов от­ме­рить 1 л воды? Как от­ме­рить 4 л воды?

В бочке на­хо­дит­ся не менее 13 вёдер бен­зи­на. Как от­лить из неё 8 вёдер с по­мо­щью 9-вeдёрной и 5-вeдёрной бочек?

12-вeдёрная бочка на­пол­не­на ке­ро­си­ном. Как раз­лить его на две рав­ные части, поль­зу­ясь пятивeдёрной и вось­ми­ведёpной боч­ка­ми?

Как взве­сить груз на ча­шеч­ных весах с ги­ря­ми, если гири пра­виль­ные, а весы не­пра­виль­ные?

Есть че­ты­ре камня, раз­ной массы. За какое наи­мень­шее число взве­ши­ва­ний на весах без гирь можно найти самый тяжёлый и лёгкий камни?

До­ка­жи­те что, среди любых на­ту­раль­ных чисел най­дут­ся хотя бы два числа, ко­то­рые при де­ле­нии на n дают оди­на­ко­вые остат­ки.

До­ка­жи­те, что среди любых на­ту­раль­ных чисел най­дут­ся два числа таких, что их раз­ность де­лит­ся на n.

До­ка­зать, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма ко­то­рых чётна.

Можно ли 25 руб­лей раз­ме­нять де­ся­тью ку­пю­ра­ми по 1, 3 и 5 руб­лей?

Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Раз­ре­ша­ет­ся к любым двум из них при­бав­лять 1. Можно ли все числа сде­лать рав­ны­ми?

На столе семь перевёрну­тых ста­ка­нов. Раз­ре­ша­ет­ся од­но­вре­мен­но пе­ре­во­ра­чи­вать любые два ста­ка­на. Можно ли до­бить­ся того, чтобы все ста­ка­ны сто­я­ли пра­виль­но?

На чудо-яб­ло­не рас­тут ба­на­ны и ана­на­сы. За один раз раз­ре­ша­ет­ся со­рвать два плода. Если со­рвать два ба­на­на или два ана­на­са, то вы­рас­тет ещё один ана­нас, а если со­рвать банан и ана­нас, то вы­рас­тет банан. В итоге остал­ся один плод. Какой это плод, если не­из­вест­но, сколь­ко ба­на­нов и ана­на­сов росло вна­ча­ле?

Иван-ца­ре­вич имеет два вол­шеб­ных меча, один из ко­то­рых может от­ру­бить Змею Го­ры­ны­чу 21 го­ло­ву, а вто­рой  — 4 го­ло­вы, но тогда у Змея Го­ры­ны­ча от­рас­та­ет 2020 голов. (Од­на­ко если, на­при­мер, у Змея Го­ры­ны­ча оста­лось лишь 3 го­ло­вы, то ру­бить их ни тем, ни дру­гим мечом нель­зя.) Может ли Иван от­ру­бить Змею Го­ры­ны­чу все го­ло­вы, если в самом на­ча­ле у него было 100 голов?

За один ход число, на­пи­сан­ное на доске, раз­ре­ша­ет­ся либо за­ме­нить на удво­ен­ное, либо сте­реть у него по­след­нюю цифру. Вна­ча­ле на доске на­пи­са­но число 456. Можно ли из него по­лу­чить число 14?

Двое иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Име­ет­ся три кучки кам­ней: в пер­вой  — 10, во вто­рой  — 15, в тре­тьей  — 20. За ход раз­ре­ша­ет­ся раз­бить любую кучку на две мень­шие; про­иг­ры­ва­ет тот, кто не смо­жет сде­лать ход. Кто вы­иг­ра­ет?

Двое по оче­ре­ди ло­ма­ют шо­ко­лад­ку 6 х 8. За ход раз­ре­ша­ет­ся сде­лать пря­мо­ли­ней­ный раз­лом лю­бо­го из кус­ков вдоль углуб­ле­ния. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не смо­жет сде­лать ход. Кто вы­иг­ра­ет при пра­виль­ной игре, тот, кто де­ла­ет пер­вый ход, или вто­рой?

На доске на­пи­са­ны 10 еди­ниц и 10 двоек. За ход можно сте­реть две любые цифры и, если они были оди­на­ко­вы­ми, на­пи­сать 2, а если раз­ны­ми  — 1. Если по­след­няя остав­ша­я­ся на доске цифра  — 1, то вы­иг­рал пер­вый игрок, если 2  — то вто­рой. Кто при пра­виль­ной игре вы­иг­ра­ет?

Двое по оче­ре­ди ста­вят ладей на шах­мат­ную доску так, чтобы ладьи не били Друг друга. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не смо­жет сде­лать ход. Кто из иг­ро­ков вы­иг­ра­ет?

Двое иг­ро­ков по оче­ре­ди рас­став­ля­ют между чис­ла­ми от 1 до 20, вы­пи­сан­ны­ми в строч­ку, «+» и «−». После того. как все места за­пол­не­ны счи­та­ет­ся ре­зуль­тат. Если он чётен, то вы­иг­ры­ва­ет пер­вый игрок, если нечётен, то  — вто­рой. Кто из иг­ро­ков вы­иг­ра­ет?

В строч­ку на­пи­са­ны 10 еди­ниц. Лёша и Витя по оче­ре­ди ста­вят между ка­ки­ми-ни­будь со­сед­ни­ми чис­ла­ми знак: «+» или «−». Когда между всеми со­сед­ни­ми чис­ла­ми по­став­лен какой-ни­будь знак, вы­чис­ля­ет­ся ре­зуль­тат. Если по­лу­чен­ное число чётное, то вы­иг­ры­ва­ет Лёша, а если нечётное, то  — Витя. Кто из ребят вы­иг­рал?

Вася и Петя вы­пи­сы­ва­ют 12-знач­ное число, ставя цифры по оче­ре­ди, на­чи­ная со стар­ше­го раз­ря­да. До­ка­жи­те, что какие 6ы цифры он не писал, Петя все­гда смо­жет до­бить­ся, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 4.

Двое вы­пи­сы­ва­ют ше­сти­знач­ное число, вы­став­ляя по оче­ре­ди по одной цифре, на­чи­ная со стар­ше­го раз­ря­да. Если по­лу­чив­ше­е­ся число раз­де­лит­ся на­це­ло на 7, то вы­иг­ры­ва­ет сде­лав­ший по­след­ний ход, иначе  — на­чи­на­ю­щий. Кто вы­иг­ра­ет в такой игре?

До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние любых трёх по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел де­лит­ся на 6.

До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние любых пяти по­сле­до­ва­тель­ных чисел де­лит­ся на 30.

Коля и Петя ку­пи­ли оди­на­ко­вые бе­го­вые лыжи. Сколь­ко стоит одна пара лыж, если Петя упла­тил сто­и­мость лыж трёхрублёвыми ку­пю­ра­ми, Коля  — пя­ти­рублёвыми, а всего они дали в кассу мень­ше 10 купюр?

Найти такие че­ты­ре на­ту­раль­ных числа, что про­из­ве­де­ние любых трёх из них, сло­жен­ное с еди­ни­цей, де­лит­ся на четвёртое.

Чтобы узнать, яв­ля­ет­ся ли число 1601 про­стым, его стали по­сле­до­ва­тель­но де­лить на 2, 3, 5 и т. д. На каком про­стом числе можно пре­кра­тить ис­пы­та­ния?

Вася на­пи­сал на доске при­мер на умно­же­ние двух дву­знач­ных чисел, а затем за­ме­нил в нем все цифры на буквы, причём оди­на­ко­вые цифры  — на оди­на­ко­вые буквы, а раз­ные  — на раз­ные. В итоге у него по­лу­чи­лось АБ · ВГ  =  ДДЕЕ. До­ка­жи­те, что он где-то ошиб­ся.

Сколь­ко име­ет­ся четырёхзнач­ных чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 45, а две сред­ние цифры у них 97?

К числу 15 при­пи­ши­те слева и спра­ва по одной цифре так, чтобы по­лу­чен­ное число де­ли­лось на 15.

Найти наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на 36, в за­пи­си ко­то­ро­го встре­ча­ют­ся все 10 цифр.

Тре­нер купил не­сколь­ко мячей, ска­ка­лок, об­ру­чей и за­пла­тил за все по­куп­ки 1690 руб­лей. Ска­кал­ка стоит 260 руб­лей, обруч  — 130 руб­лей, мяч  — 100 руб­лей. Сколь­ко мячей, ска­ка­лок и об­ру­чей купил тре­нер? Ответ по­яс­ни­те.

Тре­нер купил не­сколь­ко мячей, ска­ка­лок, об­ру­чей и за­пла­тил за все по­куп­ки 1540 руб­лей. Ска­кал­ка стоит 330 руб­лей, обруч  — 220 руб­лей, мяч  — 90 руб­лей. Сколь­ко мячей, ска­ка­лок и об­ру­чей купил тре­нер? Ответ по­яс­ни­те.

В мешке на­хо­дят­ся 29 белых пер­ча­ток и 31 чёрная пер­чат­ка. Пер­чат­ки до­ста­ют из мешка па­ра­ми. Если до­ста­ли пару пер­ча­ток од­но­го цвета, то в мешок кла­дут чёрную пер­чат­ку. Если до­ста­ли пару пер­ча­ток раз­но­го цвета, то в мешок кла­дут белую пер­чат­ку. Ка­ко­го цвета ока­жет­ся пер­чат­ка, ко­то­рая оста­нет­ся в мешке по­след­ней? За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.